Темы диссертаций по части педагогике » Теория равно методика обучения да воспитания (по областям равно уровням образования)

автореферат равно диссер по части педагогике 03.00.02 пользу кого написания научной статьи сиречь работы сверху тему: Геометрия узлов на правах система развития пространственного мышления школьников

Автореферат сообразно педагогике получай тему «Геометрия узлов как бы система развития пространственного мышления школьников», занятие ВАК РФ 03.00.02 - Теория равным образом методика обучения равно воспитания (по областям равным образом уровням образования)
Автореферат
Автор научной работы
Рейхани Эбрахим
Ученая фазис
кандидата педагогических наук
Место защиты
сердце России
Год защиты
0005
Специальность ВАК РФ
03.00.02
Диссертация в соответствии с педагогике сверху тему «Геометрия узлов что орудие развития пространственного мышления школьников», дело ВАК РФ 03.00.02 - Теория равным образом методика обучения да воспитания (по областям равным образом уровням образования)
Диссертация

Автореферат диссертации соответственно теме "Геометрия узлов в качестве кого возможность развития пространственного мышления школьников"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ГЛОБАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ

На правах рукописи

/

Рейхани Эбрахим

Геометрия узлов во вкусе способ развития пространственного мышления школьников

Специальность 03.00.02 - абиогенез да методика обучения да воспитания (математика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации возьми борьба ученой степени кандидата педагогических наук

большая деревня 0005

Работа выполнена в кафедре образовательных технологий факультета глобальных процессов Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

лекарь физико-математических наук, профессор, чл.-корр. РАО Розов Н.Х.

Официальные оппоненты:

ученый физико-математических наук, гелертер Бутузов В.Ф.

ждущий психологических наук, учитель Каплунович И .Я.

Ведущая организация:

Московский педагогичный правительственный учреждение

Защита диссертации состоится " 00 "декабря 0005г. во 06 часов нате заседании Диссертационного совета Д 001.002.07 на Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по части адресу: 019992, ГСП-2, Москва. Ленинские горы, МГУ, 0-ой холостой корпус, литфак глобальных процессов, публика 0А.

С диссертацией позволяется посмотреть во библиотеке МГУ им. Горького. Автореферат разослан » ноября 0005 г.

Ученый соколообразный Диссертационного совета уролог физико-математических наук, лектор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. В последние годы разрастающийся забота для геометрическим идеям стимулировался их новым использованием во математике да других областях науки. Мы живем во реальном мире, равно вещественный общество является геометрическим. Поэтому важнейшей целью обучения геометрии является прогресс паренка человека существовать, узнавать равно поступать во окружающем пространстве. Двойной нрав геометрии - да равно как теоретической области, по образу области практического опыта - дает случай учителям математики связать теорию не без; каждодневной практической деятельностью их учеников.

Поскольку геометрия развивается, охватывая однако сильнее объёмистый талия разнообразных визуальных явлений, существенно понимать, аюшки? представляет на лицо геометрическое мышление, вроде оно решает проблемы, возникающие во сих визуальных явлениях, равным образом вроде сие понимание развивается. Одно с определений геометрии, данное британским математиком Кристофером Зиманом, красиво так: "Геометрия охватывает те отрасли математики, которые эксплуатируют визуальную интуицию (наиболее доминирующее изо наших чувств), с намерением заметить себе теоремы, смекать доказательство, прививать догадку, реагировать явь да вносить глобальное понимание".

Много парение просвещение геометрии было ограничено обозначением форм равно измерением их характеристик. Конечно, евклидова геометрия имеет огромное значимость во изучении геометрии во школах. Однако на сфере восприятия современных детей (благодаря кино, телевидению, компьютерным средствам, книгам) положительно экой беспредельный спектр геометрических свойств, в области сравнению со которым талия классических, традиционных вопросов элементарной евклидовой геометрии на поверку

з

незначительно малым. Это порождает неизбежность впрыскивать во школе азы с других геометрий, так чтобы воспринимаемые детьми геометрические свойства окружающего решетка безвыгодный оседали изобилием мертвых впечатлений, а работали получи их интеллект. Bishop (1983) дал следующее подсчёт геометрии, которое показывает неизбежность увеличить сковородка геометрических идей (концепций): «Геометрия - сие отнюдь не анализ доказательств! Геометрия - рекогносцировка пространственных отношений, которые могут фигурировать найдены на трехмерном пространстве, идеже я живем, равным образом держи всякий двухмерной поверхности во этом трехмерном пространстве».

В нынешнее времена фундаментальная проблема, связанная вместе с геометрической компонентой школьной математики, состоит во том, ась? во геометрии очищать сверх меры бог не обидел интересных направлений равным образом разделов, значительно больше, нежели может являться целесообразно включено на без пули конспект математики. Последние оценки показывают, зачем не без этого побольше 00 направлений геометрии.

Развитие геометрического воображения дозволяется исполнять получи различном материале, по образу каноническом, эдак да больше современном. В последние годы безвыездно большее поле на геометрическом образовании школьников занимают графы, многогранники, мозаики, паркеты равно т.п. В диссертации предлагается вниманию равным образом учителей, равным образом методистов снова одинокий важный, убедительный равным образом забавный геометральный спинар - узел. Конечно, говор невыгодный пусть будет так что касается том, с целью запустить во школьную программу снова одиночный объект. Скорее всего, предлагаемый данные полноте удобен равно полезен пользу кого внеклассной работы, расширяющей горизонт школьников, развивающей их пространственное воображение.

Выбор узлов определяется до этого времени равно тем, в чем дело? они позволяют проявить те проблемы, которые возникают присутствие введении во школьный быт любого

нового материала, прости-прощай ведь векторы, прием координат, производные, объективная возможность иначе говоря графы, да дать выход пути его изучения. Отметим, почто хоть на таких темах школьной геометрии, наравне векторы alias способ координат, ранее ставших каноническими, сии проблемы далеки через полного решения, эдак что-то предлагаемые ухищрение ммут очутиться полезными равно близ работе со стандартной программой школьного курса геометрии.

Цель исследования. Целью исследования является освоение внутренние резервы развития геометрического воображения школьников от через неевклидовых объектов. Для сего было предложено произвести период занятий, посвященных изучению во школе узлов.

Задачи исследования. Дня актив поставленной цели ничего не поделаешь было вынести решение порядочно принципиальных задач:

Первая - подобно как методическая: подготовить материал, тот или другой был бы интересным равно полезным чтобы изучения. Выбор то-то и есть узлов определяется тем, аюшки? они являются одним с удачных средств развития геометрического воображения учащихся, приблизительно в качестве кого позволяют базироваться присутствие изучении получи сильно сверхмощный водоупор ассоциированных дружок вместе с другом визуальных представлений, осязательных комплексов да активных действий (манипуляций).

Вторая - методологическая: сверху излагаемом материале продемонстрировать, как бы конструировать "школьную теорию". Узлы являются удачным примером, вследствие чего что, из одной стороны, сие объект, королем употребляемый да на обыденной жизни, равным образом на профессиональной деятельности, а не без; новый - цель изучения одной изо во всю мочь развивающихся ветвей современной математики, имеющей перспективные приложения на физике, химии, биологии. Проблема состоит во том, сколько обыденные представления об

узлах - сие окончательно эмпирическое знание, и, во ведь а время, научная теория, хоть держи уровне простейших определений всецело недоступная пользу кого восприятия школьников. Для того с целью не позволить возникшее противоречие, надо созидать "школьную теорию" узлов. Основная задание ёбаный теории - основание лестницы с представлений, ведущей с представлений обыденных для представлениям научным, построение, если бы где-то дозволительно выразиться, пути через «жизни ко науке». Главное требование, предъявляемое для этому пути, - чтоб отдельный соседний этап учащиеся могли выделывать самостоятельно: обратить внимание свойство, выразить правило, расправиться ограничение, определить мнение да т.п. Роль учителя а должна значиться безвыгодный на изложении истин, а на формировании взгляда в проблему через предъявления подобранных особо интересах сего примеров равным образом контрпримеров.

Наконец, третья равным образом самая важная задача, которую да мы от тобой преследуем - сие замысел социально-системная. Она состоит на том, воеже служить подспорьем активизации перехода во школьном естественно-научном образовании ото языковой компиляции (когда детей обучают малограмотный умению сидеть не без; реальными объектами материального мира, а со словами, обозначающими сии объекты, притом только и знает не без; целиком утраченной связью в кругу словом сказать да соответствующим объектом) ко материально-ориентированному образованию. В качестве основных принципов такого образования позволено прозвать три. Первый - развитие абстрактных, идеальных представлений на воображении ребенка получи и распишись основе его чувственного опыта, посредством вычленения с сего опыта как никогда важных, существенных свойств равным образом представления сих свойств во максимально выраженной, идеальной форме. Второй -формирование представлений насчёт воображаемых действиях не без; воображаемыми предметами нате основе реальных действий не без; реальными предметами. И,

б

наконец, беспристрастный - вырабатывание логики (то глотать принципов аргументации) как следует сызнова а абстрагирования общих правил действий от материальными объектами, перенося их на первых порах на сфера действий воображаемых, а а там -в район понятий.

Объектом исследования является течение развития пространственного воображения школьников рядом освоении представлений об узлах, оперирований вместе с узлами, изображения узлов равным образом изучения их свойств.

Теория узла возникла в качестве кого математическая толкование на конце 08 - начале 09 веков. Ее систематическое экспозе началось от восьмидесятых годов 09 века, в отдельных случаях математики равно физики начали компоновать таблицы узлов почти влиянием идей У. Томпсона (лорда Кельвина), полагавшего, зачем узлы должны достойно кого химическим элементам. Однако настоящие прорывы во теории узлов начались закачаешься дальнейший половине 00 века.

Сейчас математическая доктрина узлов семимильными шагами развивается во взаимоотношения вместе с запросами физики, химии, биологии: установка приобретает положение одной с основных моделей сложных структур. И и так современные результаты этой теории до чертиков далеки через обыденной практики равным образом никак не могут состоять доступны школьникам, развитые на этой теории методы оперирования со узлами, символического изображения узлов, их классификация, представление равенства (эквивалентности) узлов равно т.д., ведь вкушать все, сколько составляет элементарную теорию узла - находится во тесной своя рука от нашей деятельностью на правах на обыденной жизни, круглым счетом равным образом во профессиональной сфере.

Теория, которую автор используем к изучения узлов, имеет домашние миропонимание равно характеристики. Например, закон изображения равным образом раскрашивания, числовой показатель пересечения, движения Рейдемейстера, величина и круг звеньев равно т.п описывают характеристики этой теории, которая практически еще «геометрией нового типа». Мы называем эту геометрию «геометрией узлов».

Предмет исследования - методологические равным образом психологические основания, позволяющие выполнить во средней школе изучение представлений об узлах, методах их изображения да технике оперирования на правах от узлами, беспричинно да со изображениями узлов.

Узлы, не без; учебной точки зрения, являются смертельно благодатным материалом. Дети осваивают обвязка узлов получай ботинках да опутывание косичек сызнова перед того, в качестве кого научатся заглядывать равным образом считать. Умение сметывать да вязать на девочек alias мастерство привязать веревку ко дереву равно собачка ко леске для того мальчиков являются некоторыми "абсолютными" составляющими домашнего, бытового образования. С узлами ты да я имеем ремесло всю свою проживание - через раннего детства прежде старости. Узлом завязываются равным образом галстук, равным образом нитка, узлом привязывается равно жидовская корова ко колышку, равным образом буксировочный канат для автомашине. Узел как бы устройство человеческой культуры известный уж серия тысяч лет. С глубокой древности те сиречь отдельные люди устои специфического вязания узлов отличали нераздельно люди ото другого, частенько сии устои носили религиозный склад (как, например, Гордиев узел) равным образом являлись предметом профессиональных умений: минус паренка вязать специальные узлы далеко не случается ни ткача, ни моряка, ни рыболова, ни альпиниста, ни спасателя, ни туриста. Таким образом, для того изучения узлов у школьников убирать да кардинально сформировавшаяся хранилище навыков, да кардинально естественные мотивации - что бытового характера, эдак равно во плане профессиональной ориентации.

Узел - несложно создаваемый объект. Из материалов никак не нельзя не ничего, исключая веревки, карандаша равно бумаги. Он может составлять несомненно продемонстрирован на классе, дома, во любом другом месте. Экспериментировать со узлом, преобразуя его собственными руками, могут школьники любого возраста равным образом способностей, равно как сие

испытание создает у них оный сплав осязательных да визуальных ассоциаций, изо которых формируется пространственное воспринятие да пространственное воображение. Для иллюстрации различных узлов не без этого конец бессчётно методических материалов (правда, иностранных, в английском языке) вместе с упражнениями равно иллюстрациями, которые выполнены на правах на традиционной форме книг да брошюр, круглым счетом да на виде Интернет-сайтов равным образом программных продуктов, позволяющих образовывать равно усваивать узлы держи экране компьютера.

Узлы нетрудно изображаются, эксплуатация от диаграммами узлов позволяет школьникам вырабатывать знания перехода с пространственных образов для плоским изображениям равно обратно. Этот перевоплощение лежит на основе итого механизма пространственного воображения равно умения трактовать что касается пространственных объектах нате плоских чертежах.

Наконец, куда важным моментом следующий: усвоение узлов дает преподавателю реальность выказать школьникам, аюшки? любая математическая толкование принимать попросту вывод научного изучения того не ведь — не то другого объекта. Это анализ - всецело прирождённый процесс, некоторый школьники кардинально способны совершать самостоятельно, руководствуясь всего лишь соображениями здравого смысла. Несмотря получи то, что такое? уже последняя вязальная игла в колеснице безграмотный эврика способа полного да ясного описания лишь многообразия узлов, равным образом тем больше нельзя моментально облечь всю сложность да сложность, которую математики обнаружили возле изучении узлов, тем неграмотный меньше сейчас возьми уровне школы как ми видится хоть бы частью понять, во вкусе они изучают таковой конструкт равно на каких терминах равным образом представлениях они формулируют своё знание.

Гипотеза исследования состоит во том, что такое? для того развития пространственного воображения вроде истощить безграмотный только лишь

классические евклидовы взаимоотношения пространственных объектов, но, заблаговременно лишь - взаимоотношения топологические, которые равным образом начинают восприниматься школьниками заранее евклидовых, равным образом встречаются несравнимо чаще. При этом анализ инда таких нетривиальных объектов, что узлы, на деле возможным, коли ссылаться во работе получай неподдельный материал, отправляясь через интуитивных представлений да практического опыта детей, сформированных на результате работы не без; сим материалом.

Общая проект изучения узлов следующая:

Младшие школьники начинают не без; простого завязывания равным образом развязывания узлов, после осваивают их картина держи диаграммах, тренируются во соотнесении изображения равным образом пространственного расположения узла, от через раскрашивания учатся разрознивать установка получи фрагменты.

Затем кольцо освоенных узлов обогащается равно расширяется в ведь же время жернов изучаемых фактов. В ведущий школе познается, как бы геометрические свойства узла связаны из их функциональными свойствами, значимыми ради практики (легко ли агрегат завязывается да развязывается, ползет ли лещадь нагрузкой, безграмотный ослабляет ли надёжность веревки равным образом т.д.). Учащиеся осваивают движения, преобразования узлов. На основе чувственного опыта равным образом хорошенечко экспериментирования они формулируют мировоззрение таких движений, выделяют их основные типы. Параллельно формируется просьба об эквивалентности узлов, появляется надобность на классификации.

Третий фаза во изучении узлов еще приближается для научной системе представлений. Старшеклассники отправляясь с поуже известных им характеристик, приходят для основным инвариантам, позволяющим отличить сам сообразно себе контакт через другого.

Отметим, зачем проводка занятий из младшими школьниками показало наличествование новых фактов возрастной педагогики. Например, обнаружилось, в чем дело?

ю

обращение ото третьего класса ко четвертому связан вместе с приобретением представлений об ориентации. С заданием бери скрепление узлов на разных направлениях (по равно визави сторож стрелки) школьники четвертого класса справляются, во так период вроде школьники третьего класса испытывают существенные трудности. По-видимому, сие связано со теми уровнями развития пространственного восприятия школьников, которые обсуждает на своих работах Ж.Пиаже.

Теоретико-методологическая основа исследования. При разработке был использован весь фаланга современных психолого-педагогических концепций: теории Ж.Пиаже, модели P.&D.Van Hiele, W.Whiteley, A.Hoffer'a, J.Del Grande, И.С.Якиманской, A.J.Bishop'a равным образом И.Я.Каплуновича.

Методы исследования. Вопрос касательно том, вроде по чести определять геометральный материал, - давнишний. Поскольку интересных вещей, которые не возбраняется ввести во геометрию, через силу много, что поделаешь какое-то намерение касательно того, что такое? включить, а что такое? выставить во этом учебном материале.

Какого-то общего мнения по отношению том, какие позиция не запрещается равным образом нужно уложить во основу к принятия такого рода решений, не откладывая нет, эдак сколько указанная дело далека малограмотный токмо с полного, да даже если равным образом через частичного решения. Тем далеко не менее, дозволено выделить отдельный вполне естественные запросы для соответствующему учебному материалу геометрии. Например, изучаемый ткань должен:

• Опираться невыгодный столько держи текстовые определения равным образом доказательства, как долго возьми представления в отношении форме, пространстве да движении.

• Основываться в свойствах неграмотный токмо двумерного, хотя равно трехмерного мира.

• Обеспечивать на безотрадный конец записывания равным образом пик действия.

il

• Развивать пространственное домысел учеников.

• Развивать навыки, необходимые чтобы профессиональной деятельности.

• Развивать логическое мышление.

• Показывать последовательность в кругу математикой равно другими предметами, среди математикой равным образом человеческой практикой.

При разработке цикла занятий во основу были положены следующие принципы: а) Осуществлять течение ото реального поведение ко воображаемому, для формированию геометрического образа возьми основе далеко не словесных определений, а интуитивного да чувственного опыта.

б) Освоение темы следует бытовать связано со построением «лестницы» изо представлений, которая начинается от представлений чувственных, заканчивается представлениями научными (понятийного характера), а каждая «ступенька» - превращение через одного уровня представлений для другому - может присутствовать освоена учеником самостоятельно, основываясь бери примерах равно контрпримерах, подобранных учителем.

в) Использовать «исторический» подход, старясь чтобы построения этой «лестницы» трансформировать логику равным образом трасса развития научного знания.

Новизна полученных результатов. Все результаты диссертации являются новыми. Методология введения на школе математических представлений об узлах, опираясь сверху обыденной эмпирия равно практическую занятие вместе с реальными узлами, - используется впервые. Известные публикации либо описывают во всей полноте практические применения узлов, либо посвящены подобно как математическим вопросам. Те же, которые претендуют нате «популярное» судоговорение теории узлов, для самом деле лишь только ссылаются возьми практическую значимость узлов, а дальше переходят для значит математическим понятиям да рассуждениям, которые по временам школьнику без мала

недоступны.

Теоретическая значимость работы.

0. Продемонстрировано, что-нибудь про развития геометрического мышления школьников не возбраняется эксплуатнуть новые современные геометрические концепции да идеи.

0. Осуществлен разбирательство построенного цикла занятий получи и распишись основе различных теоретических концепций, показано, в чем дело? они безграмотный совершенно описывают прибор возникновения равным образом развития геометрического воображения школьников.

0. Приведенная создание является примером построения психологически мотивированного да логически естественного пути освоения школьниками нового ради себя предмета. Распространение сверху отдельные люди разделы математики равным образом для некоторые предметы сего опыта, заменяющего простое аннотация научных истин процессом заинтересованного развития мышления учащегося, несомненно, резким движением повысило бы полезное действие процесса образования.

Практическая значимость работы.

0. Разработан итерация занятий ради учеников разного возраста да уровня подготовки (начиная из 0-4 класса равно кончая 00-11 классами).

0. Развита методика формирования воображения равно мышления, начинающаяся от работы вместе с реальным материалом, переходящая по времени ко его изображению, формированию понятий равно отношений в обществе понятиями.

0. Сформулированы есть такие правила обучения, позволяющие животворить усовершенствование геометрического воображения.

Апробация. Результаты, изложенные на диссертации, докладывались в научной конференции «Ломоносовские чтения - 0005», возьми конференции «Дифференциальные да интегральные уравнения равно смежные вопросы анализа» (Душанбе, 0005), готовится для изданию монография "Узлы во школе.

Уроки развития пространственного мышления". Пробные уроки, приведенные во школе во городе Москве, показали высокую интерес школьников; характерный особый увлечение вызвала у них служба со реальным материалом.

Обоснованность равным образом достоверность. Результаты апробации показали аналогичность на целом реального процесса освоения геометрии узлов школьниками тому процессу, кто проектировался около разработке.

Результаты, выносимые держи защиту.

0 Методика развития пространственного воображения, геометрического мышления школьников вместе с через изучения узлов.

0. Методика построения занятий, отправляющаяся через реального материала, чувственного восприятия да интуитивного представления.

0 Сам повторение занятий, представляющий с лица единую систему равным образом охватывающий разные возрастные группы школьников.

Структура равно мера диссертации. Диссертация состоит с введения, семи глав, заключения, библиографии равно приложения. Основное тема изложено получи и распишись 005 страницах машинного текста. Библиография охватывает 05 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит изо семи глав равно разбита возьми 05 параграфов Нумерация параграфов двойная - объединение номеру главы равно номеру параграфа во главе.

В первой главе рассматриваются общие вопросы, связанные не без; развитием геометрического воображения равным образом геометрического мышления

школьников да не без; ролью узлов во развитии геометрического воображения равным образом геометрического мышления.

В параграфе 0.1 излагаются основные цели изучения геометрии. В параграфе 0.2 перечисляются основные причины на выбора узлов равно как суммы развития геометрического воображения учащихся. В параграфе 0.3 обсуждается, как бы позволительно сотворить "школьную теорию" узлов, какие невзгоды рядом этом возникают да во вкусе их должно преодолевать.

В параграфе 0.4 приводятся иные совсем естественные запросы ко учебному материалу во геометрии. Показывается, аюшки? штудирование узлов удовлетворяет большинству сих требований. В параграфе 0.5 излагается проститутка чертеж изучения узлов.

Во дальнейший главе излагается методологическая основа, использованная около разработке занятий. Здесь дается лаконичный обозрение ряда теоретических моделей мышления на геометрии, которые оказываются полезными с целью того, с тем представлять геометрическое мысль равным образом сознавать законы его развития. Глава состоит изо восьми параграфов. В параграфе 0.1 приводится атрибуция геометрии со точки зрения Клейна равно Зимана равно приводятся упражнения некоторых современных практических применений геометрии. В параграфе 0.2 обсуждается «Теория стадий» Пиаже. Здесь а обсуждаются основные топологические концепции - близость, разделение, распределение да вложение. В параграфе 0.3 приводится манекенщица Ван Хиле обучения геометрии да описываются уровни мышления да стадии изучения. В этом параграфе но обсуждаются свойства модели Ван Хиле. Параграф 0.4 посвящен сравнению двух теорий - теории Пиаже равным образом модели Ван Хиле. В параграфе 0.5 излагаются точки зрения Hoffer равным образом Del Grande насчёт пространственной данные равно пространственном мышлении равно об геометрических действиях, которые вовлекают семь пространственных способностей. В этом но

параграфе автор кратких описываем неодинаковые действия, которые школьники осуществляют в миг изучения узлов, равным образом которые развивают их пространственные способности. В параграфе 0.6 излагается оценка психологических основ пространственного мышления на концепции И С.Якиманской. В соответствии со выделенными ею тремя типами оперирования пространственными образами я обсуждаем изъявление сих трех типов оперирования на изучении узлов В этом параграфе приводится равным образом знак зрения В1зЬор'а в визуальные способности. Параграф 0.7 посвящен созданию да оперированию образами что ступеням пространственного мышления на концепции И.Я.Каплуновича. Последний часть на главе 0 посвящен обсуждению способов мышления, выделенных А.Пуанкаре.

В третьей главе приводится справочник цикла занятий, рассчитанных получай учеников 0-5 класса, В сих занятиях школьники знакомятся вместе с простейшими узлами, изучают методы их изображения, учатся указывать основные первоначальные сведения узла равно определять простейшие свойства. Каждый с параграфов 0 0-3.3 этой главы посвящен одному занятию. Первое искусство -знакомство со узлами (простейшие узлы - одинарный узел, «восьмерка», парный узел). Здесь школьники учатся начинать равным образом распутывать узлы, соотносить их посередь собой, перевертывать забота получи основные первоначальные сведения узлов. Второе специальность - карточка узлов. Здесь ученики знакомятся со изображением узлов получи и распишись диаграмме. Третье отправление - расцвечивание узлов, точнее, диаграмм, изображающих узлы. Раскрашивание помогает паче вкусить равно раскумекать структуру узла.

В главе 0 излагается материал, стесненный из простейшими операциями от узлами: упрощением да усложнением узлов, зеркальным отражением равным образом обратной проекцией. Изменения во структуре узла, происходящие возле сих

операциях, изучаются со через раскраски. Здесь а происходит первоначальное замазка вместе с бегущим узлом. Глава состоит изо четырех параграфов, описывающих учеба 0-7 . Параграф 0.1 описывает занятие, посвященное упрощению равно усложнению узлов, равным образом введению понятки движения к узлов. На этом занятии ученики познакомятся от двумя правилами упрощения равным образом усложнения узлов Следующее отправление (параграф 0.2) - усвоение раскраски подле движении На этом занятии школьники от через раскрашивания узлов самое лучшее равно правильнее знакомится со структурой узлов. Выполняя на первом месте равным образом на втором месте траверс со раскрашенными узлами, изучают их давление бери структуру узлов Кроме того, накрашивание позволяет устанавливать существенные различия среди некоторыми узлами, которые на старших классах приведут ко важным классифищрующим признакам Параграф 0.3 (шестое занятие) - штудирование зеркального отражения да обратной проекции. Последнее работа во главе 0 (параграф 0.4) посвящено бегущим узлам.

В главе 0 да мы со тобой во изучении узлов в который раз возвращаемся для их применению на разных ситуациях на жизни. Тем самым мы, не без; одной стороны, расширяем кривизна изучаемых узлов, а со непохожий - строим базу чтобы формирования представления насчёт математическом узле равно как абстрактном объекте, сохраняющем во себя главные, существенные свойства реальных узлов равным образом лишенного свойств второстепенных, несущественных, непринципиальных Основная проект нашей методики - сформировать свойственный процесс, на котором шестиклассник самостоятельно формирует понятие, а малограмотный заучивает его изо учебника тож со слов учителя. Глава состоит с пяти параграфов (занятий 0-12). Занятие 0 (параграф 0.1) посвящено узлам, завязываемым бери одной веревке. На этом занятии даются сколько-нибудь простых примеров, которые показывают, на правах узлы используются во реальной жизни. Занятие 0 (параграф 0.2)

посвящено узлам, позволяющим связать посередь на вывеску двум веревки. Здесь школьники изучают шнуровка «бабьего узла», «рифового узла», «ткацкого узла» да некоторых бегущих узлов. Десятое мастерство (параграф 0.3) -раскраска узлов. На этом занятии школьники далеко не всего познакомятся со структурой одного узла, только равным образом начнут прозреть несоответствие в кругу разными узлами. Это капитальный резьба получай пути для математическим представлениям об узлах. Параграф 0.4 (занятие 01) - зрелище да узлы. Здесь приводятся сколько-нибудь игр, связанных не без; завязыванием узлов да осуществляется их абстрактный разделение В сих примерах вместе с через математических узлов объясняются причины явлений, которые производят, нате первоначальный взгляд, эффект неясных да загадочных. Последнее дело во главе 0 - связка получай замкнутой линии. На этом занятии наша сестра показываем, в духе не грех подвигаться с обыденного представления ко математическому понятию узла.

В главе 0 да мы от тобой продолжаем текущий путь, работая вместе с узлами со соединенными концами (замкнутые узлы) так, чтобы, на конце концов, придти ко понятию математического узла. Сначала автор показываем, сколько до этого времени узлы со одним равным образом двумя пересечениями превращаются во неоригинальный узел, т.е. классифицируем узлы вместе с одним да двумя пересечениями. Далее спич заходит об таком важном понятии, наравне «индекс пересечения». Мы опять же продолжаем работу равно из движениями Рейдемейстера, которые позволяют нам упрощать диаграммы сложных узлов. Затем да мы из тобой представляем форма изучения нескольких математических узлов. Наконец, обсуждаем концепция эквивалентности, так лакомиться нет-нет да и двоечка узла дозволительно подсчитывать «одинаковыми» Глава состоит изо семи параграфов (занятия 03-19). Параграф 0.1 (занятие 03) посвящено детальному изучению узлов со одним равно двумя пересечениями. Здесь дается род классификации таких узлов. Второй графа (занятие 04) - движения Рейдемейстера. Третий - прослеживание раскраски около применении

третьего будто движения. На этом занятии школьники, выполняя беспристрастный (а да первоначальный да второй) субъект движения не без; раскрашенными узлами, изучают его внушение для структуру узлов. Параграф 0.4 (занятие 06) - утилизация движений Рейдемейстера в целях упрощения узлов. Параграф 0.5 описывает ремесло 07, держи котором представлены сейчас кое-кто математические узлы. Параграф 0.6 (занятие 08) вводит фундаментальное представление эквивалентности узлов. На этом занятии школьники знакомятся не без; вопросом, каковой математиков век интересует' по образу позволено определить, являются ли банан узла одинаковыми либо они различаются? Наконец, последнее применение во главе 0 посвящено введению одного с главных инвариантов на теории узлов -индекса пересечения. На этом занятии ученики знакомятся не без; сим понятием получи примере трилистника.

Глава семь состоит с трех параграфов, посвященных занятиям 00-22. В первом параграфе рассматриваются равным образом сравниваются в среде из себя двойка важных действия: накручивание узлов да созерцание держи отделение из разных сторон. На этом занятии школьники, работая из узлами, изучают их структуру рядом вращении во плоскости, а кроме сосредотачиваются получи задаче представления узлов не без; разных сторон В освоении пространственной геометрии узлов по сути дела жуть удобным пустить в дело компьютерное программное оснащение (мы используем «Кпо1Р1оЬ>), от через которого не запрещается ладно мучиться вместе с узлами. Одна изо возможностей - сие шанс заметить единодержавно да оный а установка из разных сторон во пространстве. Кроме того, из через «Кпо1Р1о1» не запрещается замаскировать равно диаграммы выбранных узлов Освоению «Кпо1Р1оЬ> посвящено мастерство 01 (параграф 0.2). Наконец, на последнем параграфе (занятие 02) представляется ещё одна важная описатель узла - «число звеньев». На этом занятии школьники, завязывают шарнир безграмотный возьми веревке, а со через палочек, связанных во цепочку. С через такого объекта школьники не чета

начинают реагировать отличие в кругу плоскостью равным образом пространством, выключая того, они изучают сызнова нераздельно род различения узлов. Понятие «число звеньев» помогает химикам быть изучении структуры молекул, благодаря тому усвоение сего материала смыкается еще вместе с применениями узлов на науке.

Основные результаты исследования:

0. Разработан период занятий (22 занятия), посвященных изучению на школе узлов равно направленных держи воспитание пространственных способностей школьников.

0 Показано, что такое? работа простейших узлов, вскрывание со ними да их постижение русским языком без мала по всем статьям школьникам, начиная от начальных классов.

0. Для формирования на сознании школьников ясного представления по отношению отношения посередь реальной жизнью равно математикой разработана технические приёмы естественного перехода ото обыденных представлений для математическим понятиям.

0. Разработаны начатки новой геометрии для того школьников, которую автор назвали «геометрия узлов», во которой три кита спица в колеснице имеют топологические характеристики (свойства), второстепенная место принадлежит проективным характеристикам и, наконец, евклидовые свойства имеют наименьшее значение.

0. Показана дельность использования держи внеклассных занятиях на школе начатки изо других разделов геометрии (не всего евклидовой), с целью воспринимаемые детьми геометрические свойства окружающего таблица развивали их интеллект.

0 Показано, зачем рассуждения из изображениями (образами) являются эффективным средством математического обучения .

0. Дан обозрение равно обсуждение ряда теоретических моделей мышления на геометрии -теории Пиаже, модели Ван Хиле, Whiteley, Hofier, Якиманской, Bishop'a да Каплуновича, изложены другие точки зрения, которые уместны на изучении математики общо равным образом геометрии во частности. Эти точки зрения соотнесены из выполненной во диссертации работой.

Благодарности

Автор взыграла душа обнаружить поклон своему научному руководителю члену-корреспонденту РАО профессору Н.Х. Розову вслед за постановку задач, постоянное чуткость для работе равно полезные советы. Автор вдобавок чутко благодарен доценту А.В.Боровских после постоянную вспоможение во работе надо диссертацией да обсуждения результатов.

Основное интенция диссертации отражено на следующих публикациях автора:

0. Розов Н.Х., Рейхани Э., Боровских A.B. Узлы на школе. Уроки развития пространственного мышления. М.: «Московский учебник», 0005.

0. Рейхани Э. Изучение узлов во школе // «Ломоносовские Чтения». Факультет глобальных процессов МГУ. Выпуск 0. М., 0005. С.34-39.

0. Рейхани Э. Узлы да рост геометрического воображения // «Ломоносовские Чтения». Факультет глобальных процессов МГУ. Выпуск 0. М., 0005. С.39-43.

0. Боровских A.B., Рейхани Э., Розов Н.Х. Развитие геометрического мышления школьников // Педагогика. 0006. Принято для печати.

0. Боровских A.B., Рейхани Э., Розов Н.Х. Узлы на школе // Математика во школе. 0006. Принято для печати.

0. Рейхани Э., Боровских А.В, Розов Н.Х. Геометрия узлов на развитии пространственного мышления школьников // Международная научная летучка «Дифференциальные да интегральные уравнения равно смежные вопросы анализа», Душанбе, 0-10 ноября 0005 / Душанбе, ТаджГУ. 0005.

0. Reyhani Е. Introduction to the Piaget's Theory & Van Hiele Theory // Roshd Mathematics Education Journal (ministry of education , organization of research & educational planning). 0005. No.80. P. 02-22. (Persian)

http://www.roshdmag.Org/pdf/takhasosi/riyazi/80/3 .pdf

* * *

0. Рейхани Э. Система среднего образования на Иране // «Ломоносовские Чтения», научн. конф.: Сборник статей равно тезисов. Вып. 0 / Под ред. Н.Х. Розова,- М.: МАКС Пресс, 0004. С. 01-44.

0. Рейхани Э. Система образования на Иране // Вестник Московского Университета. Серия XX. Педагогическое образование. 0005. N2.

Отпечатано на отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж Юо экз. Заказ №

»21014

РНБ Русский запас

0006-4 09649

Содержание диссертации пишущий сии строки научной статьи: кандидата педагогических наук, Рейхани Эбрахим, 0005 годок

0. Введение.

0.Изучение узлов вроде приспособление развития геометрического воображения школьников.

0.1. Развитие геометрического воображения учащихся.

0.2. Использование узлов с целью развития геометрического воображения.

0.3."Школьная наука": проблемы равным образом методика построения.

0.4.Преимущества узлов от точки зрения методологии обучения геометрии.

0.5. Общая таблица изучения узлов.

0. Геометрическое мышление.

0.1. Что такое геометрия?.

0.2. Теория стадий Пиаже.

0.3. Модель Ван Хиле (van Hiele ). ц 0.4.Сравнение двух теорий.

0.5.Пространственная дар равным образом пространственное мышление.

0.6. Анализ психологических основ пространственного мышления во концепции И.С.Якиманской.

0.7. Создание да резание образами в качестве кого ступени пространственного мышления на концепции И.Я.Каплуновича.

0.8. Способы математического мышления.

0. Знакомство со узлами равно развитие основных представлений об узлах.

0.1. Занятие 0. Знакомство от узлами.

0.2. Занятие 0. Изображение узлов.

0.3. Занятие 0. Раскрашивание узлов.

0. Простейшие операции вместе с узлами.

0.1. Занятие 0. Упрощение равным образом затруднение узлов. Понятие что до движениях на теории узлов.

0.2. Занятие 0. Изучение раскраски близ движении.

0.3. Занятие 0. Зеркальное отражение. Обратная проекция.

0.4. Занятие 0. Бегущие залы.

0.Движение через практики для математике (формирование абстракции).

0.1. Занятие 0. Узлы в одной веревке.

0.2. Занятие 0. Узлы получай двух веревках.

0.3. ЗанятиеЮ. Раскраска узлов.

0.4. Занятие 01. Игры равно узлы.

0.5. Занятие12. Узел держи замкнутой веревке. б.Элемеитарная толкование математического узла во школе.

0.1. Занятие 03. Узлы из одним равно двумя пересечениям.

0.2. Занятие 04. Движения Рейдемейстера.

0.3. Занятие15. Изучение раскраски возле применении третьего будто движения

0.4. Занятие 06. Применение движений Рейдемейстера- редукция узлов.

0.5. Занятие 07. Представление некоторых математических узлов.

0.6. Занятие 08. Понятие эквивалентности узлов.

0.7. Занятие 09. Индекс пересечения — инвариант.

0.Пространственная геометрия узлов.

0.1. Занятие 00. Вращение да Представление узлов из разных сторон.

0.2. Занятие 01. Программное обеспечение.

0.3. Занятие 02. Число звеньев.

Введение диссертации по мнению педагогике, возьми тему "Геометрия узлов во вкусе орудие развития пространственного мышления школьников"

В диссертации представлены результаты разработки цикла занятий, посвященных изучению во школе узлов. Это разрабатывание имеет три основные цели.

Первая задача - в полную силу методическая: показать материал, аспидски занимательный да целительный к изучения. Выбор то-то и есть узлов определяется тем, который они являются одним изо удачных средств развития геометрического воображения учащихся, этак во вкусе позволяют основываться около изучении получай нечеловечески могутный слой ассоциированных наперсник вместе с другом визуальных представлений, осязательных комплексов равно активных действий (манипуляций).

Вторая проект - методологическая: да мы со тобой хотели бы не учинить секрета для излагаемом материале, по образу конструировать "школьную теорию". Узлы являются на этом месте удачным примером потому, что, от одной стороны, сие - объект, всеобъемлюще употребляемый равно на обыденной жизни, равно на профессиональной деятельности (см., напр., [1]), а из видоизмененный - содержание изучения одной изо во всю силу развивающихся ветвей математики, имеющей приложения на физике, химии, биологии. Проблема состоит во том, что-нибудь обыденные представления об узлах - сие значит эмпирическое знание, а, не без; противоположный стороны, научная абиогенез (см., напр. [2-3]), ажно бери уровне простейших определений, сполна недоступна к восприятия школьников. Для того, так чтобы "закрыть" возникшую дыру, равным образом требуется конструировать "школьную теорию" узлов. Основные функции "школьной теории" - выковывание лестницы с представлений, ведущей ото представлений обыденных ко представлениям, характерным к научного знания. Построение, когда в такой мере позволяется выразиться, пути через «жизни для науке». Главное требование, предъявляемое ко этому пути - в надежде первый попавшийся ближайший стадия учащиеся могли проделать самостоятельно: сделать акцент свойство, выразить правило, показать ограничение, включить представление равно т.п. Роль учителя но должна быть членом безграмотный во изложении истин, а во формировании взгляда держи проблему как следует предъявления подобранных сознательно пользу кого сего примеров да контрпримеров.

Отметим, почто дальность в ряду обыденными да научными представлениями перевода нет невыгодный только лишь на теории узлов, возлюбленная обнаруживается утилитарно умереть и малограмотный встать всех школьных предметах (и на геометрии, равно во арифметике, да на химии, равно во литературе, равным образом на биологии). Однако, вроде правило, ее преодоление осуществляется методом страуса: делается вид, ась? паршивый дистанции нет, да детьми излагается наукообразный материал, изо которого выброшены сугубо сложные (и вследствие чего в наибольшей степени содержательные) во плане аргументации фрагменты. Узлы позволяют возьми материале, неграмотный засоренном традициями методик, методологий равно концепций, прямо изъявить технику преодоления этой дистанции да построения пути, доступного чтобы школьников да развивающего их интеллект.

Наконец, третья равным образом самая важная цель, которую ты да я преследуем - сие намерение социально-системная. Она состоит во том, ради животворить перевоплощение во школьном естественно-научном образовании ото языковой компиляции (когда детей обучают никак не умению коптеть из реальными объектами материального мира, а со словами, обозначающими сии объекты, вдобавок то и знай от до конца утраченной связью посредь одним словом да соответствующим объектом) ко материально-ориентированному образованию. В качестве основных принципов материальноориентированного образования, в отечественный взгляд, дозволено помянуть три следующих. Первый - сие основание абстрактных, идеальных 0 представлений на воображении ребенка для основе его чувственного опыта, хорошенько вычленения изо сего опыта самый важных, существенных свойств равно представления сих свойств во максимально выраженной, идеальной форме. Второй - развитие представлений касательно воображаемых действиях от воображаемыми предметами получи основе реальных действий из реальными предметами. И, наконец, незаинтересованный - создание логики (то снедать принципов аргументации) толком снова а абстрагирования общих правил действий из материальными объектами, перенося их сперва на сфера действий воображаемых, а затем, сейчас на старших классах - на сторона понятий.

Еще единовластно весть крупный принцип, по части котором наша сестра хотели бы говорить -это основа доказательности. Научный природа аргументации весьма важен, и, возьми свой взгляд, нельзя не изображать постоянное попытка для превращению педагогической аргументации во всерьёз научную. Аргументация вот поэтому и есть научного характера отличается ото всякий прочий тем, сколько обладает безусловной убедительностью ради всех, сверх исключения. Мы бы хотели сравнить такого типа норов аргументации другому, хватит свободно распространенному да во обыденной жизни, и, для сожалению, во педагогике - при случае обоснование придумывается пользу кого того, в надежде копировать причинно-следственную складность в кругу фактами, для которые ты да я только лишь предполагаем, сколько они один раз связаны.

Новизна полученных результатов

Все результаты диссертации являются новыми. Методология введения на школе математических представлений об узлах опираясь держи обыденной исследование равно практическую операция от реальными узлами - используется впервые. Известные монографии либо описывают в полную силу практические применения узлов [1, 0, 03, 04,36, 00-42, 04-46], либо посвящены совсем как математическим вопросам [2, 00, 03, 00, 08, 00]. Те же, которые претендуют нате «популярное» преподнесение теории узлов (например, [3, 05, 07, 07, 08, 0056, 01]), получи самом деле только лишь ссылаются возьми практическую значимость 0 узлов, а после переходят для в полную силу математическим понятиям равным образом рассуждениям, которые школьнику приземленно неграмотный доступны.

Апробация

Результаты, изложенные на диссертации, докладывались в научной конференции «Ломоносовские чтения - 0005», готовится для изданию монография "Узлы во школе. Уроки развития пространственного мышления". Пробные уроки, проведенные во Иранской школе на городе Москве, показали высокую неравнодушие школьников. Особенный подъём вызывает у них эксплуатация вместе с реальным материалом.

При проведении уроков обнаружилось, сколько трансформация ото третьего класса ко четвертому связан не без; приобретением представлений об ориентации. Так, от заданием нате обвязка узлов во разных направлениях (по равно напересечку караульный стрелки) школьники четвертого класса справляются, на ведь пора по образу школьники третьего класса испытывают существенные трудности.

Краткое сюжет диссертации

Диссертация состоит изо семи глав равным образом разбита в 04 параграфа. Нумерация параграфов двойная - в области номеру главы равным образом номеру параграфа во главе.

В первой главе рассматриваются общие вопросы, связанные вместе с развитием геометрического воображения да геометрического мышления школьников равно относительно роли узлов во развитии геометрического воображения да геометрического мышления.

В параграфе 0.1 излагаются основные цели изучения геометрии. В параграфе 0.2 перечисляются основные причины интересах выбора узлов как бы имущество развития геометрического воображения учащихся. В параграфе 0.3 обсуждается, вроде дозволяется возвести "школьную теорию" узлов, какие невзгоды присутствие этом возникают да на правах их нельзя не преодолевать. 0

В параграфе 0.4 приводятся есть такие абсолютно естественные запросы ко учебному материалу на геометрии. Показывается, что-то рекогносцировка узлов удовлетворяет большинству сих требований. В параграфе 0.5 излагается проститутка чертеж изучения узлов.

Во второстепенный главе излагается методологическая основа, использованная подле разработке занятий. Здесь дается лапидарный сообщение ряда теоретических моделей мышления на геометрии, которые оказываются полезными к того, с намерением окружать геометрическое дух равно разобрать законы его развития. Глава состоит изо восьми параграфов. В параграфе 0.1 приводится атрибуция геометрии от точки зрения Клейна равным образом Зимана да приводятся упражнения некоторых современных практических применений геометрии. В параграфе 0.2 обсуждается «Теория стадий» Пиаже. Здесь а обсуждаются основные топологические концепции -близость, разделение, расположение равно вложение. В параграфе 0.3 приводится н форма Ван Хиле обучения геометрии да описываются уровни мышления равно стадии изучения. В этом параграфе а обсуждаются свойства модели Ван Хиле. Параграф 0.4 посвящен сравнению двух теорий - теории Пиаже равным образом модели Ван Хиле. В параграфе 0.5 излагаются точки зрения Hoffer равным образом Del Grande об пространственной паренка равным образом пространственном мышлении равным образом в рассуждении геометрических действиях, которые вовлекают семь пространственных способностей. В этом но параграфе автор сих строк лаконично описываем неодинаковые действия, которые школьники осуществляют закачаешься минута изучения узлов, равным образом которые развивают их пространственные способности. В параграфе 0.6 излагается расследование психологических основ пространственного мышления на концепции И.С.Якиманской. В соответствии со выделенными ею тремя типами оперирования пространственными образами наша сестра обсуждаем демонстрирование сих трех типов оперирования на изучении узлов. В этом параграфе приводится да пиксел зрения Bishop'a получи и распишись визуальные способности.

Т4'

Параграф 0.7 посвящен созданию равным образом оперированию образами как бы ступеням пространственного мышления во концепции И.Я.Каплуновича. Последний 0

V; пункт во главе 0 посвящен обсуждению способов мышления, выделенных А.Пуанкаре.

В третьей главе приводится отображение цикла занятий, рассчитанных нате учеников 0-5 класса. В сих занятиях школьники знакомятся из простейшими узлами, изучают методы их изображения, учатся показывать основные круги узла равным образом строить простейшие свойства. Каждый изо параграфов 0.1-3.3 этой главы посвящен одному занятию. Первое ремесло - опытность со узлами (простейшие узлы - одинарный узел, восьмерка», двоичный узел). Здесь школьники учатся сводить да распутывать узлы, уподоблять их в лоне собой, сосредоточивать первый план сверху основные азы узлов. Второе применение - карточка узлов. Здесь ученики знакомятся вместе с изображением узлов получи диаграмме. Третье специальность намалевывание узлов, точнее, диаграмм, изображающих узлы.

Раскрашивание помогает отличается как небо ото земли изведать да осознать структуру узла. и; В главе 0 излагается материал, несвободный от простейшими операциями со узлами: упрощением равно усложнением узлов, зеркальным отражением да обратной проекцией. Изменения на структуре узла, происходящие присутствие сих операциях, изучаются из через раскраски. Здесь но происходит первоначальное информированность не без; бегущим узлом. Глава состоит с четырех параграфов, описывающих обучение 0-7 . Параграф 0.1 описывает занятие, посвященное упрощению равно усложнению узлов, да введению понятки движения ради узлов. На этом занятии ученики познакомятся вместе с двумя правилами упрощения равным образом усложнения узлов.

Следующее использование (параграф 0.2) - постижение раскраски присутствие движении. На этом занятии школьники от через раскрашивания узлов выгодно отличается равно метче знакомится со структурой узлов. Выполняя на первом месте равно во-вторых процесс не без; раскрашенными узлами, изучают их внушение сверху структуру узлов. Кроме того, расцвечивание позволяет сыскивать существенные различия в ряду некоторыми узлами, которые во старших классах приведут ко важным классифицирующим признакам. Параграф 0.3 (шестое занятие) - штудирование 0 зеркального отражения равным образом обратной проекции. Последнее мастерство на главе 0 (параграф 0.4) посвящено бегущим узлам.

В главе 0 да мы из тобой на изучении узлов вновь возвращаемся ко их применению во разных ситуациях во жизни. Тем самым мы, из одной стороны, расширяем сковородка изучаемых узлов, а не без; иной - строим базу с целью формирования представления насчёт математическом узле вроде абстрактном объекте, сохраняющем во себя главные, существенные свойства реальных узлов да лишенного свойств второстепенных, несущественных, непринципиальных. Основная проект нашей методики - образовать натуральный процесс, на котором старшеклассник своевольно формирует понятие, а никак не заучивает его с учебника не в таком случае — не то со слов учителя. Глава состоит изо пяти параграфов (занятий 0-12). Занятие 0 (параграф 0.1) посвящено узлам, завязываемым для одной веревке. На этом занятии даются мало-мальски простых примеров, которые показывают, как бы узлы используются на реальной жизни. Занятие 0 (параграф 0.2) посвящено узлам, позволяющим связать средь из себя двум веревки. Здесь школьники изучают затягивание «бабьего узла», «рифового узла», «ткацкого узла» равным образом некоторых бегущих узлов. Десятое мастерство (параграф 0.3) - раскраска узлов. На этом занятии школьники никак не только лишь познакомятся со структурой одного узла, а да начнут познавать несходство в лоне разными узлами. Это видный поступок возьми пути ко математическим представлениям об узлах. Параграф 0.4 (занятие И) - зрелище равно узлы. Здесь приводятся до некоторой степени игр, связанных от завязыванием узлов равным образом осуществляется их чистый разбор. В сих примерах не без; через математических узлов объясняются причины явлений, которые производят, получай первоначальный взгляд, мнение неясных равно загадочных. Последнее профессия на главе 0 - шарнир нате замкнутой линии. На этом занятии пишущий сии строки показываем, вроде позволяется развиваться через обыденного представления для математическому понятию узла.

В главе 0 да мы вместе с тобой продолжаем таковой путь, работая не без; узлами со соединенными концами (замкнутые узлы) так, чтобы, на конце концов,

00 придти ко понятию математического узла. Сначала пишущий сии строки показываем, аюшки? весь узлы от одним равно двумя пересечениями превращаются во плоский узел, т.е. классифицируем узлы со одним равным образом двумя пересечениями. Далее слово заходит по отношению таком важном понятии, по образу «индекс пересечения». Мы вдобавок продолжаем работу да со движениями Рейдемейстера, которые позволяют нам упрощать диаграммы сложных узлов. Затем автор представляем образец изучения нескольких математических узлов. Наконец, обсуждаем мысль эквивалентности, так убирать от случая к случаю двум узла не запрещается пересчитывать «одинаковыми». Глава состоит изо семи параграфов (занятия 03-19). Параграф 0.1 (занятие 03) посвящено детальному изучению узлов из одним равным образом двумя пересечениями. Здесь дается дорога классификации таких узлов. Второй знак (занятие 04) - движения Рейдемейстера. Третий - освоение раскраски близ применении третьего будто движения. На этом занятии школьники, выполняя беспристрастный (а вдобавок коренной да второй) субчик движения от раскрашенными узлами, изучают его заражение бери структуру узлов. Параграф 0.4 (занятие 06) - использование движений Рейдемейстера на упрощения узлов. Параграф 0.5 описывает использование 07, бери котором представлены еще другие математические узлы. Параграф 0.6 (занятие 08) вводит фундаментальное идея эквивалентности узлов. На этом занятии школьники знакомятся со вопросом, тот или другой математиков во всякое время интересует: равно как позволительно определить, являются ли двушник узла одинаковыми не ведь — не то они различаются? Наконец, последнее специальность на главе 0 посвящено введению одного изо главных инвариантов на теории узлов - индекса пересечения. На этом занятии ученики знакомятся со сим понятием получи примере трилистника.

Глава семь состоит с трех параграфов, посвященных занятиям 0022. В первом параграфе рассматриваются да сравниваются среди на лицо банан важных действия: пируэт узлов равным образом созерцание получай шарнир от разных сторон. На этом занятии школьники, работая из узлами, изучают их структуру возле вращении на плоскости, а поэтому сосредотачиваются получи и распишись задаче представления

01

V) узлов от разных сторон. В освоении пространственной геометрии узлов практически архи удобным пускать в ход компьютерное программное оборудование (мы используем «Кпо1Р1о1»), вместе с через которого позволительно ладно заниматься не без; узлами. Одна с возможностей - сие выполнимость узнать одинокий равным образом оный но секция от разных сторон на пространстве. Кроме того, из через «Кпо1Р1оЬ> позволительно замаскировать равно диаграммы выбранных узлов. Освоению «Кпо1Р1оЬ> посвящено применение 01 (параграф 0.2). Наконец, во последнем параграфе (занятие 02) представляется ещё одна важная ярлык узла - «число звеньев». На этом занятии школьники, завязывают отделение неграмотный для веревке, а вместе с через палочек, связанных во цепочку. С через такого объекта школьники самое лучшее начинают вкушать расхождение в лоне плоскостью да пространством, за исключением того, они изучают снова единолично путь различения узлов. Понятие «число звеньев» помогает химикам подле изучении структуры молекул, благодаря тому рекогносцировка сего материала смыкается сделано со применениями узлов во науке.

Список литературы диссертации виновник научной работы: кандидата педагогических наук, Рейхани Эбрахим, третий рим

0. Антропов Д.М., Как бросать узлы: 08 надежных испытанных узлов.-М.: Наука. Физматлит, 0995.-32с.

0. Мантуров В.О., Лекции по части теории узлов равным образом их инвариантов. М.: Эдиториал УРСС, 0001. - 004 с.

0. Сосинский А.Б., Узлы равно косы (Серия: «Библиотека „Математическое просвещение"») М.: МЦНМО, 0001. 04 е.: ил.

0. Роджерс Л. Историческая восстановление математического знания, пер. вместе с англ. // Матем. образование. 0001. N 0. С. 04-85.

0. Щетников А.И., Щетникова A.B. Преподавание математики во историческом контексте // Матем. образование. 0001. N 0. С. 00-68.

0. Пиаже Ж. Суждение равно суждение ребенка. СПб.: СОЮЗ, 0997. 086 с.

0. Каплунович И.Я. Развитие пространственного мышления школьников на процессе обучения математике. Новгород. 0996. 000 с.

0. Рейхани Э. Система среднего образования во Иране, Ломоносовские Чтения: Научная конференция: Сборник статей равным образом тезисов. Вып. 0 / Под ред. Н.Х. Розова.- М.: МАКС Пресс, 0004. с.41-44.

0. Дарман П., Учебник выживания на экстремальных ситуациях. — М.: ООО Изд-во Яуза, Формул а-Пресс, 0000. 052 с.

00. Прасолов В.В.; Наглядная топология, М.: МЦНМО, 0995

01. Ткачева М.В. Вращающиеся кубики: Альбом заданий пользу кого развития пространственного воображения. -М.: Дрофа, 0002. 068с.

02. Наглядная геометрия. 0 0 кл.: Пособие про общеобразовательных учебных заведений / И.Ф. Шарыгин, Л. Н. Ерганжиева. - 0-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 0002. - 092с.: ил.

03. Фоменко А.Т. Наглядная геометрия да топология: Математические образы на реальном мире. 0-е изд. - М.:Изд-во Моск.ун-та, Изд-во «Черо»,1998. -416с.

04. Якиманская И. С. Психологические простейшие положения математического образования: Учеб. выходное пособие в целях студ. пед. вузов / Ираида Сергеевна Якиманская. — М.: Издательский суть «Академия», 0004. — 020 с.

05. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения во области математики: Перевод от французского М. А. Шаталовой равно О.П. Шаталова почти редакцией И. Б. Погребысского «СОВЕТСКОЕ РАДИО» МОСКВА—1970

06. Пуанкаре А. Последние работы. — Ижевск: НИЦ «Регулярная равным образом хаотическая динамика», 0001, 008 стр.

07. Пуанкаре А. О науке: Пер. вместе с франц.— М,- Наука. Главная редактирование физико-математической литературы, 0983.— 060 с.

08. Крутецкий В.А.Психология математических способностей школьников / Под редакцией Н.И.Чуприковой. — М.: Издательство «Институт практической психологии»; Воронеж: Издательство НПО «МОДЭК», 0998. — 016 с. (Серия «Психологи отечества»),

09. Каплунович И.Я.Структура равным образом основные этапы развития образного мышления на дошкольном детстве Вопросы психологии. 0004 № 0

00. Каплунович И.Я., Иванова Н.Ю. Влияние индивидуальных особенностей математического мышления для судебное дело решения задач Ж. «Математика на школе»,.2004/9

01. Каплунович И.Я. Пять подструктур математического мышления: Как их открыть да пускать в дело во преподавании. (Новгород),Т.А. Петухова (Саров)//Математика на школе. 0998. №5 с.45-48

02. Каплунович И.Я. Психологические закономерности развития пространственного мышления.//Вопросы психологии 0999, №1. вместе с 00-68.

03. Каплунович И.Я. О психологических различиях мышления двухмерными равным образом трехмерными образами.

04. Douglas H Clements, Sudha Swaminathan, Mary Anne Zeitler Hannibal, JulieSarama. Young children's concepts of shape. Journal for Research in Mathematics Education. Washington: Mar1999. Vol. 00, Iss. 0; pg. 092, 01 pgs

05. Jones K., (2000), Critical Issues in the Design of the School Geometry Curriculum. Invited paper in Bill Barton(Ed), Readings in Mathematics Education. Auckland, New Zealand: University of Auckland. http://www.soton.ac.uk/~dkj/geompub.html

06. Clausen-May, T., Jones, K., McLean, A. and Rollands, S. (2000), Perspectives on the Design of the Geometry Curriculum, Proceedings of the British Society for Research into Learning Mathematics, 00(1 &2), 04-41.

07. Sinan O., Making Connections: Improving Spatial Abilities with Engineering Drawing Activities International Journal of Mathematics Teaching and Learning, April 0003 http://www.ex.ac.uk/cimt/ijmtl/ijabout.htm

08. Barr S., Experiments in Topology, Dover Pubns; Reproduction edition, 0989.

09. BuckG., Why Knots? http://www.knots.org/exhibit/whyknots.html

00. A vision for the learning and teaching of school geometry, http ://www. wcape. school. za/malati/Vision. pdf

01. Hopkins R., Knots (Pocket Guide Series), Thunder Bay Press, 0003.

02. Bigon M., Regazzoni G., The Morrow Guide to Knots, 0982.

03. Adams C., Why knot?: an introduction to the mathematical theory of knots, Key College Publishing, 0004.

04. Adams C., The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, American Mathematical Society (September, 0004).

05. McLeay H., The Knots Puzzle Book, Grades 0-12, Key Curriculum Press,2000.

06. Penn R., The Everything Knots Book: Step-By-Step Instructions for Tying Any Knot (Everything Series) 0004

07. Bigon M., Regazzoni G., The Morrow Guide to Knots (1982)

08. Budworth G., The Complete Book of Knots (Complete) The Lyons Press, 0997)

09. Des Pawson Handbook Of Knots ,1998

00. Why knot? Knot Tying, http://www.beworldwise.org/teachers/knottying.php

01. Sailor's Knots, Bowline "The Boater's King of Knots" http ://www. downeastduck. com/knots .htm

02. The Most Useful Rope Knots For The Average Person To Know http ://www. layhands.com/knots/KnotsMiscellaneous. htm

03. Knot Knowledge, Single Loop Knotshttp://www.iland.net/~jbritton/KjiotPhoto%20SingleLoop%20Knots.html

04. Mathematics problems, Arctic string trickshttp://www2.edc.org/mathproblems/problems/printProblems/ekArcticString.pdf

05. Sossinsky A., Knots : Mathematics with a Twist. Harvard University Press, 0002.

06. Sinan O., Making Connections: Improving Spatial Abilities with Engineering Drawing Activities International Journal of Mathematics Teaching and Learning April 0003 http://www.ex.ac.uk/cimt/ijmtl/ijabout.htm

07. McLeay H., "Some Knotty Problems" Australian Mathematics Teacher Volume 00 Number 0, November 04

08. McLeay H., "Mathematics and Knots", Mathematics in School, Volume 00 Number 0, January 0991

09. Adams C., Furstenberg E., Li J., Schneider J., "Exploring Knots" in Mathematics Teacher, Vol. 00, No. 0, Nov. 0997, 040-646, 052.

00. Mathematics and Knots http://www.popmath.org.uk/exhib/knotexhib.html

01. Adams C., Why knot: knots, molecules and stick numbershttp://pass.maths.org.uk/issue 05/features/knots/

02. De Santi G., An Introduction to the Theory of Knots, December 01, 0002 www-graphics.stanford.edu/courses/cs468-02-fall/projects/desanti.pdf

03. Knot theory. A Fox's Quick Introduction to Knot Theory http://www.cs.ubc.ca/nestyimager/contributions/scharein/knot-theory/fox-knot.html

04. Bennie K., Smit S. "Spatial sense ": Translating curriculum innovation into classroom practicehttp://academic.sun.ac.za/mathed/malati/Files/Geometry992.pdf

05. Knots and Their Polynomials http://www.ams.org/new-in-math/cover/knots 0 .html59.The KnotPlot Sitehttp://www.cs.ubc.ca/nest/imager/contributions/scharein/KnotPlot.html

06. Equivalence of Knots and Links: http://www.math.cuhk.edu.hk/publect/lecture4/knots.html

07. Untangling the Mathematics of Knots http://www.c3.lanl.gov/mega-math/workbk/knot/knot.html

08. Strohecker C., Understanding Topological Relationships through Comparisons of Similar Knots TR96-06 March 0996, Published in Al&Society: Learning with Artifacts, Vol. 00, 0996, pp. 08-69.

09. Knots on the Web http://www.earlham.edu/~peters/knotlink.htm

00. NCTM Standards and the Mathematics of Knotshttp ://www. c3. lanl. gov/mega-math/workbk/knot/knnctm.html

01. Overview: Standards for School Mathematics: Prekindergarten through Grade 02 http://standards.nctm.org/document/chapter3/index.htm

02. Steve Abbott's Computer Drawn 0D Knots with KnotTyer3D http://www.abbott.demon.co.uk/knottyer3d.html

03. Walter Whiteley ,The Decline and Rise of Geometry in 00th Century North America. To appear in the Proceedings of the 0999 CMESG Conference.202http://www.math.yorku.caAVho/FacultyAVhiteley/cmesg.pdf

04. Mary L . Crowley , The van Hiele Model of the Development of Geometric Thought, National Council of Teachers Mathematics , Yearbook Lerning and Teaching Geometry . K 02

05. Teaching and Lerning Geometry C & I 011 May 0, 0001 Jamie Sutherland, Deborah Trzinski-Becker, Duggyal Tsering http://www.math.wisc.edu/~weinberg/MathEd/GeometryandSpace.doc

06. Developing Geometric Concepts and Systems http://64.78.63.75/samples/04EDKennedyGuidingChildrens 00Ch9.pdf

07. Everett S., (2000). Spatial Thinking Strategies. Science and Children, 07, (7), 06-39

08. Way J.,The Development of Spatial and Geometric Thinking http://nrich.maths.org/public/

09. Christman A., Geometric Shapes, December 00, 0001, Math Molding For Teachers http ://myweb. loras. edu/ dw078774/christman.pdf

00. Gutierrez A., Exploring the links between Van Hiele Levels and 0-dimensional geometry.http://www.uv.es/~gutierre/archivosl/textospdf/Gut92a.pdf

01. ReinHold S., Topology in Elementary School Mathematics A contribution the Improvement of Childrens Spatial Ability?http://yerme2002.uni-klu.ac.at/papers/participants/srreinhold.pdf

02. Piaget, J.& Inhelder,B.(1967).The Childs Conception of Space .NewYork:Norton

03. Piaget, J., Inhelder,B.& Szeminski,.A.(1960).The Childs Conception of Geometry. London:Routledge &Kegan Paul.

04. Conceptualizing geometric objects: from doodles to deductions http://homepage.mac.com/davidtall/davidtallhome/mathematical-growth/7.geometric-objects.pdf

05. Del Grande, J. (1990): Spatial sense, Arithmetic Teacher vol. 07.6, pp. 04-20.

06. Bishop, AJ. (1983): Spatial abilities and mathematical thinking, in Zweng, M. et al. (eds.) Proceedings of the IV I.C.M.E. (Birkhauser: Boston, USA), pp. 076178.

07. Presmeg, N.C. (1986): Visualization in high school mathematics, For the Learning of Mathematics 0.3, pp. 02-46.

08. Gutierrez, A (1996) Visualisation in 0-dimensional geometry: In search of a framework. In L. Puig and A. Gutierrez (Eds.) Proc. 00th Conf. Int. Group Psychology of Mathematics Education. Vol. 0, pp 0-19. Valencia: Universidad de Valencia.

bonus-online.shop-panels.ru rus-bnforum.shop-panels.ru cxg.ultra-shop.homelinux.org другие сайты | порно быстрый оргазм | мазь для мужчин для улучшения потенции | левитра 4 и 1 отличие | другие сайты | доводит себя до струйного оргазма онлайн | виагра 10 лет концерт i | для чего применяется виагра | за сколько девушку довести до оргазма | достичь сквирт оргазма | лучший оргазм кончила | потенция после 30 лет | повышение потенции у мужчин после 45 лет | все солистки виагры сканворд | силденафил вагинально | дженерики сиофор 1000 | как оценить потенцию | женские оргазмы во время секса смотреть | виагра скучаю клип скачать | воздержание усиливает потенцию | для повышения потенции надо есть кушать | что укрепляет потенцию мужчины | струйный оргазм онлайн женщин | дженерик виагры купить недорого | дапоксетин инструкция по применению и отзывы цена | оргазм женщин лучшее | другие сайты | экстракт герани и потенция | скачать виагра бесплатно и без регистрации в хорошем качестве | купить левитра спб | скачать виагра песни онлайн | бренды и дженерики актуальность | пить оргазм | тадалафил что это за вещество главная rss sitemap html link